принцип суперпозиции неприменим.
Поясним вышесказанное примером. Пусть в пространстве
имеется равновесное распределение электрических зарядов,
создающих всюду вокруг себя электрическое поле. Что случится,
если в это поле внести еще один электрический заряд? Если
внесенный заряд будет очень мал, то принцип суперпозиции для
результирующего поля будет иметь место. Однако, если этот
заряд велик, то он может привести в движение и переместить все
имеющиеся заряды. Вследствие этого окажется, что
первоначальное поле сильно исказится, и это изменение не будет
описываться в рамках принципа суперпозиции.
В общем случае можно утверждать, что принцип суперпозиции
справедлив, если наложение полей не приводит к перемещению в
пространстве источников этих поле.
Электромагнитное поле в вакууме удовлетворяет принципу
суперпозиции. В силу этого принципа электрическое или
магнитное поле, создаваемое системой зарядов или токов, равно
сумме полей, создаваемых этими зарядами или токами в
отдельности. Для электромагнитного поля в веществе, принцип
суперпозиции может нарушаться, например, если постоянные,
описывающие свойства среды (диэлектрическая или магнитная)
зависят от величины поля.
Примером нарушения принципа суперпозиции может служить
магнитное поле в ферромагнетике. Другой пример - свет (сильное
световое поле) в среде. Такое поле может генерировать в среде
за счет нелинейного взаимодействия с ней свет на длине волны в
два, три или более раз меньшей. Слабое гравитационное поле с
хорошей точностью подчиняется принципу суперпозиции. Сильное
же гравитационное поле не подчиняется принципу суперпозиции,
поскольку оно описывается нелинейными уравнениями Эйнштейна.
Разделы физики, которые изучают явления, в которых
нарушается принцип суперпозиции, обычно называют нелинейными.
Например, нелинейная оптика. В дальнейшем ограничимся
рассмотрением слабых полей (гравитационных и
электромагнитных), к которым принцип суперпозиции применим.
2 . Поля центральных сил.
В этом разделе, мы рассмотрим так называемые поля
центральных сил. Это поля , силы взаимодействия для которых
зависят только от расстояния между взаимодействующими телами и
направлены вдоль линии взаимодействия. Мы будем рассматривать
квазистационарные поля, т.е. такие поля, которые либо не
меняются со временем, либо меняются, но медленно по сравнению
с рассматриваемыми явлениями. К рассматриваемым поля в первую
очередь относятся гравитационные и электростатические поля.
Поведение гравитационных и электростатических полей похоже
друг на друга. То объясняется тем, что в основе описания обеих
полей лежат схожие законы: закон всемирного тяготения Ньютона
и закон Кулона. В векторном виде мы записывали их следующим
образом:
Fтяг = ( -g) ( M m / r2) (r/r)
(15.4)
Fкул = (1/4pe0 ) (Qq/r2) (r/r)
(15.5)
Если не считать коэффициентов перед формулами (-g) и
(1/4pe0) (которые могут иметь другой вид в других системах
единиц), законы похожи. Сила тяготения Fтяг (сила притяжения
между двумя телами) прямо пропорциональна массам M и m тел,
обратно пропорциональна квадрату расстояния между телами r и
направлена вдоль линии, соединяющей тела (r/r). Кулоновская
сила Fкул (сила взаимодействия между зарядами ) прямо
пропорциональна зарядам Q и q, обратно пропорциональна
квадрату расстояния между зарядами r и направлена вдоль линии,
соединяющей заряды (r/r).
В дальнейшем нам будет удобно остановится подробнее на
одном виде взаимодействия ( электростатическом или
гравитационном), подразумевая, что все наши выводы будут
справедливы и для другого взаимодействия (поля).
В электродинамике при описании электрических полей
используют другую форму записи закона Кулона. На называется
теоремой Остроградского-Гаусса. Рассмотрим ее. Напряженность
электрического поля точечного заряда Q на расстоянии r от
него определяется из закона Кулона и равна:
E = F/q = (1/4pe0)(Q/r )(r/r)
(15.6)
Найдем поток вектора напряженности электрического поля
через поверхность, внутри которой находится заряд Q , - ФЕ.
Окружим поверхность сферой радиусом R. Площадь сферы 4pR.
Поток вектора напряженности через эту сферу численно равен
количеству силовых линий, проходящих через нее. Силовые линии
перпендикулярны поверхности сферы, cos(SE)=1 и, значит, их
число равно произведению площади сферы на напряженность поля
на поверхности сферы:
ФЕ = (4pR2 ) (1/4pe0 ) (Q/R2 ) = Q/ e0
(15.7)
Если вместо сферической, мы возьмем произвольную замкнутую
поверхность, через нее будет проходить столько же силовых
линий, сколько и через сферу. В силу принципа суперпозиции
теорема применима и к произвольному числу зарядов внутри
поверхности. Чтобы найти поток вектора напряженности при
произвольном числе зарядов внутри поверхности, надо
просуммировать заряды внутри ее. Другими словами: Поток
вектора напряженности через произвольную поверхность равен
алгебраической сумме зарядов внутри этой поверхности, деленной
на диэлектрическую проницаемость вакуума.
Теорема Остроградского-Гаусса имеет наглядный физический
смысл. Она утверждает, что силовые линии электростатического
поля начинаются и заканчиваются на зарядах. Если внутри
рассматриваемой поверхности зарядов нет, то число входящих в
нее силовых линий равно числу выходящих и суммарный поток
вектора напряженности равен нулю.
Эта теорема используется в электростатике для решения
многих задач. Рассмотрим, как с ее помощью определить
напряженность электрического поля вблизи равномерно заряженной
поверхности. Пусть у нас есть бесконечно большая равномерно
заряженная плоскость. Если заряды положительны, то силовые
линии выходят из плоскости и расположены перпендикулярно ей
(см.рис.15.2).
Рис.15.2
Обозначим через s=q/s поверхностную плотность заряда,
т.е. заряд, приходящийся на единицу площади. Выделим на
плоскости окружность Ds и построим на ней как на основании два
цилиндра по обе стороны поверхности. Высота цилиндров равна
r. Боковые стенки цилиндров перпендикулярны поверхности и
совпадают с линиями напряженности электрического поля. Значит
поток вектора напряженности через них равен нулю. Применим
теперь к цилиндру теорему Остроградского-Гаусса. Полный поток
вектора напряженности электрического поля равен: ФЕ =
Q/e0=sDs /e0 . С другой стороны, чтобы найти его, надо
просуммировать потоки вектора напряженности через все стенки
цилиндра. Черезбоковые стенки он равен нулю. Поток вектора
напряженности через торцевые стенки равен: Е Ds = s Ds/e0 .
Отсюда находим, что напряженность поля не зависит от
расстояния до поверхности и равна : E = s/e0 .
Эту же задачу можно, в принципе, решить, используя формулу
15.6. Но, для решения задачи с ее помощью потребовалось бы
применение раздела высшей математики, связанного с векторным
анализом и поверхностными интегралами.
Электростатическое и гравитационное поле являются полями
центральных сил, т.е. сил, величина которых зависит только от
расстояния между взаимодействующими телами и направлены вдоль
линии, соединяющей тела. Такие поля являются полями
консервативных сил . Покажем это на примере гравитационного
поля вблизи поверхности Земли. Силовые линии гравитационного
поля вблизи поверхности Земли параллельны друг другу. Найдем
работу, совершаемую при перемещении тела, массой m из точки 1
в точку 2 (см. рис. 15.3).
Рис.15.3
Расстояние между точками будем считать пренебрежимо малым
по сравнению с расстоянием до центра земли. В этом случае сила
тяготения одинакова во всех точках траектории ,равна весу тела
Р и направлена вертикально вниз: F = P =mg = m (g M / R 2 )
e, где R радиус Земли, e -единичный вектор e= -r/r.
Направим ось координат OZ вдоль силовых линий
гравитационного поля вертикально вниз. По определению, работа,
совершаемая при перемещении тела массой m из точки 1 в точку 2
, ( где точка 1 расположена на высоте H1 , а точка 2 на
высоте H2 )равна:
A12 = F dr = F dr cos(Fdr) = F dZ = F(H1-
H2)=P(H1-H2) (15.8).
Работа не зависит от траектории пути, а определяется
начальным и конечным положением тела. Тем самым мы доказали,
что рассматриваемые поля являются полями консервативных сил.
Работа этих полей на замкнутой траектории равна нулю.
