процесс, при котором состояние системы, изменяясь, многократно
повторяется во времени. Наиболее распространены и детально
изучены периодические колебательные процессы. В этих процессах
система через определенный промежуток времени, называемым
периодом колебаний (Т), возвращается в исходное состояние.
Примером периодического колебательного процесса могут служить
движения маятника, качелей, прыгающего мяча и т.д.
В общем случае колебание может совершать материальное
тело, физический параметр, характеризующий поле или среду, а
также, любой параметр, описывающий сложную систему, например,
общество.
Если физическая величина X изменяется по закону:
[pic] где A - амплитуда, (0(2((Т ( круговая
частота колебаний, (0 - начальная фаза, то такие колебания
называются гармоническими.
Рассмотрим элементы динамики гармонических колебаний. Для
простоты сначала остановимся на механических колебаниях, для
которых Х имеет смысл смещения материальной точки из положения
равновесия. Из (18.1) дифференцированием найдем скорость и
ускорение этой материальной точки.
[pic]
Найдем силу, под действием которой совершаются
гармонические колебания. Второй закон Ньютона, описывающий
движение точки вдоль оси (ох), принимает вид:
[pic] Здесь k(((m((2(((коэффициент пропорциональности между
приложенной силой и вызываемым ею смещением. Для упругих
систем он называется жесткостью или коэффициентом упругости,
для других систем, подчиняющихся этому же уравнению -
коэффициентом квазиупругости. Таким образом, гармонические
колебания совершаются силой, пропорциональной отклонению тела
от положения равновесия и направленной к положению равновесия.
Коэффициент k определяет собственную частоту и период
колебаний: [pic]
Упругие и квазиупругие силы всегда являются центральными,
так как зависят только величины смещения тела. Следовательно,
эти силы являются консервативными. Для них оказывается
возможным ввести потенциальную энергию, которая равна
потенциальной энергии упругой (квазиупругой) деформации.
[pic]. Запишем выражение для кинетической энергии
колеблющегося тела.
[pic]
Обратим внимание на то, что оба вида энергии изменяются в
пределах от нуля до максимального значения, причем
максимальные значения кинетической и потенциальной энергий
тела одинаковы. Кинетическая и потенциальная энергия меняются
в противофазе. В моменты времени, когда тело проходит
положение равновесия, вся его энергия определяется
кинетической энергией. В моменты времени, когда амплитуда тела
становится максимальной, его энергия определяется
потенциальной энергией. Полная механическая энергия равна:
[pic]
Полная механическая энергия, как и следовало ожидать,
оказалась постоянной.
Кроме консервативных сил, в реальной системе могут
действовать и неконсервативные силы, например силы трения. При
их наличии механическая энергия системы переходит во
внутреннюю энергию, т.е. идет на нагрев тела. Полная
механическая энергия в этом случае не сохраняется, она убывает
со временем. Значит, должна уменьшатся и амплитуда колебаний
системы A. Если силы трения прямо пропорциональны скорости
тела Fтр(b(( (вязкое трение), амплитуда колебаний A(t)
зависит от времени следующим образом:
[pic].
Амплитуда колебаний убывает по экспоненте, параметры
которой определяются начальной скоростью и силами трения.
Получившиеся колебания называются затухающими. Отметим, что
затухающие колебания протекают медленнее, чем колебания в той
же системе без трения. Их частота немного меньше, а период,
соответственно, немного больше.
[pic].
Рис.18.1 Рис.18.2
Для того, чтобы амплитуда колебаний не уменьшалась под
вследствие потерь энергии, в систему необходимо добавлять
энергию извне. Добавляемая энергия должна компенсировать
потери. Существуют разные способы передачи энергии в систему.
Чаще всего в технике инициируют так называемые вынужденные
колебания. Вынужденные колебания возникают под действием
внешней периодической силы с частотой (. Эта частота может не
совпадать с частотой собственных (() или затухающих ((()
колебаний. Колебания начинаются сразу на двух частотах:
вынужденные на частоте ( и затухающие на частоте ((.
Затухающие колебания быстро затухают, и остаются только
незатухающие вынужденные колебания. Амплитуда вынужденных
колебаний является функцией частоты вынуждающей силы (. Эта
зависимость приведена на рис.18.2 для систем с большим (1) и
малым трением (2). Если частота вынуждающих колебаний - (
близка к частоте собственных колебаний системы - (, то
наступает так называемое явление резонанса. При резонансе
амплитуда колебаний системы максимальна.
Если потери, вызванные силами трения, достаточно малы, то
амплитуда колебаний может стать такой большой, что система
может даже разрушится. Известен случай разрушения моста под
действием ветра, вызвавшего сильные колебания. В авиации
известен термин, называемый флаттером, когда амплитуда
колебаний деталей самолетов становится настолько большой, что
самолеты разрушаются в воздухе.
Существуют и другие способы передачи энергии системе для
осуществления периодических незатухающих колебаний. В
простейшем случае, который имеет место в механических часах,
энергия механической пружины периодически с частотой 1 Гц
подводится к маятнику.
Интересен случай возбуждения незатухающих колебаний в
системе, с помощью энергии, подводимой непрерывно. Примером
возникновения таких колебаний - автоколебаний могут служить
трубы органов и других музыкальных инструмент иов. Поток
воздуха проходит с постоянной скоростью через органную трубу и
передает ей энергию, за счет которой труба издает звуки
определенной тональности. Как можно в этом случае объяснить
процесс возникновения периодических колебаний? Автоколебания
возможны только тогда, когда энергия, передаваемая системе
нелинейно зависит от какого-то параметра, например от скорости
системы. В разные моменты времени скорость стенок трубы, с
которой соприкасается поток воздуха, различна. И поток воздуха
с разной силой «трется» о стенки, т.е. передает ей разную
энергию. Колебания стенок трубы описываются обычными
уравнениями колебаний (18.1-18.3) Следовательно, энергия,
передаваемая потоком воздуха органной трубе также будет
меняться по закону гармонического колебания. В конечном счете
процесс передачи энергии от потока воздуха к стенкам трубы
также будет носить периодический характер. Период этого
процесса определяется собственными частотами колебаний трубы.
Имеет место явление резонанса, при котором амплитуда колебаний
становится очень большой при сравнительно небольших затратах
энергии. Именно этим явлением объясняется «флаттер» и
разрушение моста сильным потоком воздуха.
18.2 Распространение колебаний, звуковые и
электромагнитные волны.
Упругой называется среда, которая может сопротивляться
деформации. Возьмем, например, металлическую линейку. Закрепим
один ее конец, а на второй подействуем с некоторой силой. Для
того, чтобы согнуть линейку требуется прикладывать силу,
которая уравновешивается силами, действующими со стороны
соседних участков линейки. Через некоторое время после
прекращения действия внешней силы линейка разогнется и
перейдет в прямое состояние. Это пример действия упругих сил в
твердых телах. В газах также существуют упругие силы. Возьмем
поршень в цилиндре и попытаемся сжать газ в цилиндре. Упругие
силы, возникающие из-за избыточного давления газа, будут
стремиться вернуть поршень в положение равновесия. Жидкости
тоже являются упругими средами, в них тоже возникают упругие
силы.
Отличие упругих сил в твердых телах от упругих сил в
жидкостях и газах, заключаются в том, что, в твердых телах
упругие силы действуют во всех направлениях, независимо от
того, куда мы стремимся приложить силу. В газах упругие силы
возникают только тогда когда мы стремимся изменить
первоначальный объем газа. Другими словами, твердое тело
сопротивляется изменению своего объема и своей формы, а
жидкости и газы - только изменению объема.
Если заставить колебаться участок упругой среды, то под
действием упругих сил эти колебания будут передаваться
соседним участкам среды. Процесс распространения колебаний в
упругой среде называют волнами. В общем случае волна - это
