Для поля консервативных сил можно ввести потенциальную
энергию. В каждой точке поля консервативных сил она равна
работе, которую нужно затратить на перемещение тела из
бесконечности в данную точку. В случае электрического поля
перемещаемым телом является заряд. При описании электрических
полей вместо потенциальной энергии точки чаще используют
понятие потенциала в точке r : j(r) . Потенциал определяется
как отношение потенциальной энергии (Eпот) заряда q в точке к
величине самого заряда:
j(r) = Eпот(r) / q =Ar /q
(15.9)
Из этого определения следует, что потенциал является
скалярной функцией. Причем, у этой функции аргументом служит
точка в пространстве, которая может задаваться вектором.
Свяжем между собой потенциалы и работу по перемещению
заряда. Пусть мы перемещаем заряд q из точки 1 в точку 2 в
электрическом поле. Работа по перемещению такого заряда равна
разности потенциальных энергий поля в точках 1 и 2:
A 12= Eпот(2) - Eпот(1) = [j(2) - j(1)] q=U q
(15.10)
Здесь разность потенциалов мы обозначили как U , которую
обычно называют просто напряжением. С другой стороны, работа
по определению равна :
A 12= Fdr=qEdr =q Edr=q[j(2)-j(1)]
(15.11)
Тем самым мы связали напряженность электрического поля с
разностью потенциалов. Величину Edr называют циркуляцией
вектора напряженности электрического поля на участке кривой 1-
2. Если заряд перемещается по замкнутой кривой, т.е. вышел из
точки 1 и вернулся в точку 1, то работа по его перемещению
равна нулю. Электростатическое поле- поле консервативных сил.
Но это означает, что циркуляция вектора напряженности
электрического поля на замкнутой кривой равна нулю. Тем самым
мы доказали еще одну важную теорему электростатики о
циркуляции вектора напряженности электрического поля.
В качестве примера рассмотрим потенциал точечного заряда
+Q на расстоянии r0 от него. Пусть пробный заряд +q двигается
по прямой, проходяшей через заряд Q, из бесконечности в точку
r0. Работу, затраченную на перемещение заряда можно
определить по формуле 15.5 с учетом того, что заряд
двигается вдоль силовой линии, т.е. скалярное произведение Fdr
=Fdr: A r = Fdr = (1/4pe0) Qq (1/r) dr = (1/4pe0)Qq(1/r),
откуда потенциал точечного заряда j(r) =1/4pe0Q /r.
При графическом описании электрических полей часто
пользуются эквипотенциальными линиями или поверхностями,
которые определяют поверхность с одинаковым потенциалом j. Для
точечного заряда линии эквипотенциальной поверхности на
плоскости - просто концентрические окружности, как это
показано на рис.15.1. При движении заряда по эквипотенциальной
поверхности работа не совершается, как это следует из формулы
15.11. Для того, чтобы работа при перемещении заряда в
электрическом поле равнялась бы нулю, требуется, чтобы заряд
двигался перпендикулярно силовым линиям электрического поля
(тогда cos(Fdr)=0 и работа равна 0). Т.е. в общем случае линии
эквипотенциальной поверхности перпендикулярны в каждой точке
линиям напряженности электрического поля.
Предположим, мы сообщили некоторый заряд проводнику. Что
будет происходить? Одноименные заряды будут отталкиваться и
стремится расположится на поверхности проводника. Но заряды не
могут двигаться бесконечно долго в проводнике, иначе мы
получили бы вечный двигатель, т.е. нарушился бы закон
сохранения энергии. Заряды расположатся таким образом, чтобы
напряженность электрического поля, направленная вдоль каждой
точки поверхности по касательной стала бы равной нулю. Линии
напряженности электрического поля в каждой точке поверхности
будут перпендикулярны ей. Тогда движение зарядов по
поверхности прекратится. Такой процесс произойдет очень
быстро. Поверхность проводника станет эквипотенциальной,
поскольку в каждой точке поверхности линии напряженности
электрического поля будут перепендикулярны ей.
3 Вихревые поля.
Наряду с описанными выше полями (электростатическими и
гравитационными) существует другой вид полей, силовые линии
которых нигде не начинаются и нигде не заканчиваются, они
замыкаются сами на себя. Такие поля называются вихревыми. Они
названы так из-за сходства силовых линий в виде
концентрических окружностей с вихрем. Рассмотрим особенности
этих полей. Начнем с простейшего - магнитного поля.
Стационарное магнитное поле создается движущимися зарядами.
Из школьного курса хорошо известны силовые линии
естественных магнитов. Их вид изображен на рис.15.4а. Такой же
вид полей можно получить, используя замкнутый проводник, по
которому течет ток. Поле кругового витка с током изображено на
рис.15.4б. Силовые лини поля
Рис.15.4
образуют замкнутые кривые. Их направление определяется по
правилу правого буравчика. Если ручку буравчика вращать по
направлению тока в витке, то острие показывает направление
силовых линий. Стационарное магнитное поле создается
движущимися зарядами. На рис.15.5 показаны силовые линии
бесконечно длинного проводника с током. Они представляют
концентрические окружности. Направление силовых линий также
можно определить с помощью правила буравчика. Для этого надо
направить острие буравчика по направлению тока, тогда
направление вращения ручки буравчика совпадет с направлением
силовых линий.
Рис.15.5
Правило буравчика - мнемоническое правило, позволяющее
просто определять направление силовых линий магнитного поля.
Существуют строгие законы, позволяющие определять величину и
направление силовых линий произвольного по форме проводника с
током.
Напряженность магнитного поля определяется законом Био-
Саварра-Лапласа. Мы не будем рассматривать в явном виде этот
закон. В принципе, с его помощью можно рассчитать
напряженность магнитного поля, создаваемую любым проводником с
током. Так напряженность магнитного поля бесконечно длинного
проводника с током на расстоянии r от него равна: H=I/2pr.
На достаточно удаленном расстоянии от проводника с током
магнитное поле можно считать однородным. Т.е. силовые линии
такого поля расположены параллельно друг от друга. На
проводник с током, помещенный в однородное магнитное поле
действует сила. Величина силы определяется по закону Ампера.
Для участка проводника с током, длиной L его можно записать в
векторном виде в системе единиц СИ как:
F = m0 I [ H L ] (15.12)
Здесь m0 - постоянная , обусловленная выбором системы
единиц (СИ), L -проводник с током I , который задается в
векторном виде, так как имеет направление в пространстве. Его
направление совпадает с направлением движения тока, т.е.
положительных зарядов.
Из 15.12 следует, что на проводник с током в однородном
магнитном поле действует сила, направленная перпендикулярно
вектору напряженности магнитного поля H и направлению движения
тока (проводника с током L ). В этом заключается
принципиальное отличие силового воздействия вихревого
магнитного поля на пробный элемент от поля консервативных сил.
Вихревыми бывают не только магнитные, но и электрические
поля. Действительно, возьмем проводник с током в виде кольца и
поставим внутрь него батарейку. Заряды (носителями зарядов в
проводниках являются электроны) будут двигаться по кольцу,
создавая ток. Величина тока I определяется известным вам
законом Ома:
I = E / (rе +R) (15.13),
где Е - электродвижущая сила (ЭДС) батареи, R и rе -
сопротивление проводника и внутренне сопротивление источника
ЭДС.
Рассмотрим, что происходит в проводнике. Как мы знаем,
электроны двигаются вдоль силовых линий электрического поля.
В рассматриваемом нами проводнике электроны двигаются по
замкнутой кривой, образуемой проводником. Значит в проводнике
реализуется такое электрическое поле, которое заставляет
двигаться электроны по замкнутой кривой.
Следовательно, и силовые линии электрического поля тоже
представляют из себя замкнутые кривые. Т.е. электрическое поле
в проводнике также является вихревым полем.
Электростатическое поле способно перемещать заряды, но только
до того момента, пока перераспределение зарядов не
скомпенсирует поле. После этого заряды будут оставаться
неподвижными. Поле в проводнике с током стационарно и вызывает
стационарное движение зарядов. Значит это не
электростатические поля, а какие-то другие. Такие поля,
