то амплитуда результирующего колебания максимальна и равна
сумме амплитуд. Если же складываются два колебания в
противофазе, то результирующая амплитуда будет минимальна и
равна модулю разности амплитуд этих колебаний. При
произвольной разности фаз складывающихся колебаний амплитуда
результирующего колебания может меняться от нуля до максимума.
Если, например, складываются два колебания с одинаковыми
амплитудами и одинаковыми фазами, то результирующая амплитуда
удвоится, а интенсивность возрастет в четыре раза. Если же
колебания с равными амплитудами сложатся в противофазе, то
колебания полностью погасят друг друга, и интенсивность
результирующего колебания окажется равной нулю. Интенсивность
двух складывающихся волн не равна сумме их интенсивностей.
Явление стационарного во времени увеличения интенсивности
волн в одних точках пространства и уменьшения в других
называется интерференцией. Еще раз подчеркнем, что для
наблюдения интерференции необходимо, чтобы частоты колебаний
были одинаковыми. Такие волны называются когерентными.
Наряду с плоскими волнами, которые мы рассматривали до сих
пор, существуют и другие типы волн, например, сферические или
цилиндрические. Напомним, что тип волны или форма волновой
поверхности определяется формой источника и законом его
колебания. Сферический источник, как правило, создает
сферические волны. Такие волны не имеют выделенного
направления и распространяются во всех направлениях одинаково.
Если в среде нет неконсервативных сил, то амплитуда колебаний
таких волн убывает обратно пропорционально расстоянию, а
интенсивность, соответственно, обратно пропорционально
квадрату расстояния.
Введение сферических волн необходимо для понимания еще
одного чисто волнового явления - дифракции. Под дифракцией
понимают огибание волнами препятствия и их захождение в
область геометрической тени. Представим себе следующую
ситуацию. У нас есть закрытая комната в одной из стен которой
есть окно. Напротив стены с окном стоит стрелок и стреляет в
него. Естественно, если пули не рикошетят, все они попадут в
стенку за окном и никогда не достигнут боковых стен. Если мы
рассматриваем движение материальных тел, то эти тела (в
отсутствие силовых воздействий) в соответствии с первым
законом Ньютона двигаются прямолинейно. Если на их пути
встречаются препятствия, тела не огибают их.
По иному ведут себя волны. Волна есть процесс
распространения колебаний в пространстве. Если в какой-то
точке упругой среды возникнут колебания, то они за счет
упругости среды передадутся в окрестные точки, т.е. возникнет
сферическая волна. Как будет распространяться в пространстве
волна с произвольным фронтом? Ответ на этот вопрос дал в 17-м
веке Х.Гюйгенс (1629-1695), сформулировав принцип, названный
его именем. Гюйгенс предложил считать каждую точку фронта
волны источником сферических волн. За время [pic]t сферические
волны распространятся на некоторое расстояние. Новым фронтом
волны через время [pic]t будет огибающая этих сферических
фронтов.
Рассмотрим два примера, иллюстрирующих принцип Гюйгенса.
На рис.18.5 показано прохождение плоской волны через отверстие
небольшого размера, соизмеримого с длиной волны. Слева на
отверстие падает плоская волна. Какой она станет после
прохождения отверстия? Разобьем отверстие на зоны размерами
порядка длины волны. Каждая такая зона может рассматриваться
как источник сферических волн. Пусть за время [pic]t
сферическая волна распространится на расстояние [pic]r, как
это показано на рисунке. Огибающая сферических волн уже не
будет плоской волной. Продолжим этот процесс. Если взять
достаточно большой промежуток времени t, т.е. рассматривать
волновые поверхности на большом по сравнению с размерами
отверстия расстоянии, то прошедшая через него плоская волна
превратится в сферическую волну. Волна за отверстием будет
распространятся во все стороны, в том числе и в область
геометрической тени.
Рис.18.5
Рассмотрим другой пример, иллюстрирующий принцип Гюйгенса.
Пусть плоская волна падает на границу раздела сред (1) и (2),
как это показано на рис.18.6. Угол падения обозначим через (1.
Скорость распространения волны в первой среде равна (1, во
второй (2. Найдем, под каким углом (2 будет распространятся
волна во второй среде.
В соответствии с принципом Гюйгенса каждую точку на
границе двух сред мы можем считать источником вторичных
сферических волн. Система симметрична и нам достаточно взять
две точки А и В, которые ограничивают фронт падающей волны.
Проведем из точки А прямую, перпендикулярную направлению
распространения фронта волны AC. Эта прямая совпадает с
фронтом волны в момент времени t.
V
V В
С
D
А
1
2
Рис. 18.6
Точка С фронта волны достигнет точки B в момент времени
tо. Время t- to =CB/V =AB sin( y 1 )/V1 . За время t - to
из точки А распространится сферическая волна с радиусом AD
= (t -to ) V. Фронт волны во второй среде будет проходить
через точку В и будет касателен к сфере радиусом АD. Любая
точка отрезка АВ может рассматриваться как источник вторичных
сферических волн. За время t - t они распространятся в
среде 2 на некоторые расстояния. Касательные к окружностям
этих точек и дадут прямую ВD. Во второй среде также
распространяется плоская волна.
Поскольку AD = AB sin =V(t - t ) с одной стороны и
с другой стороны АВ sin =V ( t - t ) , приравнивая
АВ из этих уравнений и сокращая на (t - t ), получаем
уравнение преломления волн на границе двух сред:
[pic].
Скорость распространения световых волн в среде (
определяется коэффициентом преломления n этой среды и
скоростью света в вакууме с:
[pic].
Подставив это соотношение в уравнение (18.18), получим
закон преломления света:
[pic].
Закон преломления света был сформулирован в трудах
Архимеда около двух с половиной тысяч лет назад. Наряду с
законом прямолинейного распространения света и законом
невзаимодействия световых волн, он является одним из основных
законов оптики. Подавляющее большинство расчетов оптических
систем (очков, биноклей, фотоаппаратов и т.д.) базируется на
этих законах.
Значение показателя преломления n можно найти
воспользовавшись уравнениями (18.16) и (18.17).
[pic].
В этой формуле ( и ( ( диэлектрическая и магнитная
проницаемости среды, соответственно. Поскольку, для всех
оптически прозрачных сред ((((1 (с точностью до трех знаков
после запятой), справедливо выражение: [pic].
В заключение раздела рассмотрим явление дисперсии.
Проявление его известно с незапамятных времен. Все мы
наблюдали радугу в небе после дождя, любовались игрой света в
драгоценных камнях. Все эти эффекты связаны с явлением
дисперсии. Под явлением дисперсии понимают зависимость
скорости распространения волн или коэффициента преломления
среды от длины волны или частоты колебаний.
Рассмотрим опыт Ньютона по наблюдении дисперсии света (см.
рис. 18.7). Он направлял параллельный пучок белого света на
стеклянную призму П и наблюдал его прохождение на стоящем
вдали экране Э. Призма преломляет пучок света , но по разному
для разных длин волн, и на экране Э наблюдается не одно
белое пятно, а спектр, включающий все цвета радуги от синего
до красного.
На гранях призмы в соответствии с законом преломления свет
преломляется. Коэффициент преломления стекла n различен для
разных длин волн, т.е. n(((n((). Показатель преломления для
синего света больше, чем для красного, поэтому, в соответствии
с законом преломления (18.20) синий свет преломляется сильнее,
чем красный.
П
Э
К
С
Рис.18.7.
Кроме красного и синего цветов в естественном свете
присутствуют все остальные цвета, и коэффициенты преломления
для каждого из них различны. Каждый из этих лучей будет
преломляться на разный угол. На экране будут наблюдаться все
цвета радуги, переходящие друг в друга от красного до
фиолетового.
Этот же эффект мы наблюдается при прохождении света через
грани отшлифованного алмаза - бриллианта. Природный алмаз
имеет очень высокую дисперсию и большое значение коэффициента
преломления n(((2,4. Именно поэтому белый свет, преломляясь
на гранях алмаза, хорошо разделяется на все цвета радуги.
В заключение подчеркнем еще раз основное отличие движения
волн от движения материальных тел. Волна - это не материальное
тело, а процесс распространения колебаний в пространстве. Она
не локализована в какой-либо точке пространства и обладает
бесконечным числом степеней свободы. Волна может обладать
характеристиками, не имеющими аналогов для материальных тел,
например, поляризацией. Прохождение волн в среде или
пространстве сопровождается явлениями, отсутствующими при
движении материальных тел: интерференцией, дифракцией,
дисперсией.
