будут показывать разное время , а с точки зрения второго наблюдателя -
одинаковое. Время будет разное для двух разных наблюдателей, находящихся в
различных инерциальных системах отсчета.
К этому же результату можно прийти и чисто формально, при помощи
преобразований Лоренца. Покажем это. Пусть в неподвижной системе отсчета К
два события происходят одновременно, т.е. [pic]. Найдем разность [pic] в
системе отсчета К’, перемещающейся относительно К вдоль оси x со скоростью
u. Для этого воспользуемся преобразованием Лоренца для времени.
[pic]
Не вдаваясь в детальный анализ, укажем, что изменение длительности
промежутков времени не касается принципа причинности: если из двух событий,
одно является следствием другого и разделены промежутком времени, то в
любой инерциальной системе отсчета эти события также разделены промежутком
времени, и последовательность событий не нарушается. Т.е. следствие всегда
идет после причины.
Рассмотрим парадокс, следующий из преобразований Лоренца. Пусть в одной
точке пространства в системе отсчета К произошли два события (например
рождение и смерть человека) в моменты времени t1 и t2, соответственно.
Промежуток времени между этими событиями в системе отсчета К равен [pic]. В
движущейся системе отсчета K’ промежуток времени [pic] между этими
событиями другой, что следует из преобразований Лоренца для времени. Теория
относительности позволяет связать длительности промежутков времени в
системе отсчета наблюдателя [pic] и в системе отсчета, связанной с
наблюдаемыми объектами [pic] (собственное время).
[pic].
В разных системах отсчета, двигающихся относительно друг друга время течет
по разному, причем в системе отсчета, связанной с объектом наблюдения часы
идут медленнее всего, т.е. собственное время всегда минимальное.
Собственное время - еще один инвариант преобразований Лоренца, в какой бы
инерциальной системе отсчета его ни вычисляли, всегда должен получиться
одинаковый результат. Формула (12.3) неоднократно обыгрывалась в
фантастических романах, когда отец улетал к звездам на космолете с большой
скоростью, возвращался обратно молодым, а его сын, остававшийся на Земле
уже успевал состарится.
Обратимся еще раз к примеру, приведенному в параграфе 12.1, в котором
рассматривалось взаимодействие двух движущихся зарядов, и ответим на
вопрос, почему же все-таки силы взаимодействия окажутся для разных
наблюдателей разными. Ответ на него заключается в том, что в движущейся
системе отсчета время течет медленнее, и ускорение, а значит, и сила
взаимодействия уменьшится.
Кроме изменения хода часов наблюдается изменение размеров (укорочение)
быстро движущихся объектов. Этот эффект тоже может быть выведен из
преобразований Лоренца. Связь длины отрезка, направленного вдоль скорости
движения, в системе К (наблюдаемая длина [pic]) и в системе K’ (собственная
длина [pic]) задается формулой:
[pic].
Таким образом собственная длина всегда максимальна. Отметим, что
сокращаются лишь размеры тела вдоль направления скорости системы K’.
Изменение размеров - кажущийся, ненаблюдаемый эффект. Размеры мы
определяем, сравнивая длину линейки с размерами тела. Но, и сама линейка в
другой системе координат будет менять свои размеры одновременно с телом.
Этот эффект напрямую нельзя наблюдать.
Как ни странно, именно сокращение длины и замедление хода времени,
предсказанные в теории относительности, удалось наблюдать еще в 30-е годы
нашего века. Исследовались нестабильные частицы (-мезоны. Время жизни (-
мезонов было измерено, [pic]. За это время частица могла пролететь
расстояние не превышающее [pic]. Однако, (-мезоны могли рождаться лишь на
высоте 20-30 км при столкновении космического излучения с ядрами атомов в
атмосфере. Казалось бы, все они должны распасться еще в верхних слоях
атмосферы, но приборы на земле уверенно регистрировали их. Объясняется это
тем, что рождались они с очень большими скоростями, близкими к скорости
света. В соответствии с формулой (12.3) течение времени в их их системе
отсчета замедлялось и они успевали пройти расстояние в несколько десятков
километров. Но как объяснить это же явление, если наблюдать за частицами в
их собственной системе отсчета, ведь в этой системе время жизни частиц
составляет действительно [pic]. А в этом случае для частиц сокращается
длина пройденного ими пути. (-мезоны пролетают десятки километров и
достигают земли, но для них в полном соответствии в формулой (12.4) длина
этого пути сокращается до нескольких сотен метров. Таким образом,
наблюдение одного природного явления подтвердило сразу два, казалось бы,
абсурдных следствия из преобразований Лоренца.
В настоящее время существуют очень точные часы, которые показали, что время
на движущихся искусственных спутниках Земли отстает от земного времени на 1
секунду за 44 года.
В релятивистской механике предсказан еще целый ряд парадоксальных с точки
зрения классической механики явлений. В настоящее время большинство из них
наблюдались в экспериментах. При этом не наблюдалось отклонений от
предсказаний специальной теории относительности.
12.3 Релятивистская динамика, масса покоя, связь массы и энергии
В параграфе 10.3 обсуждалась инвариантность законов классической механики
относительно преобразований Галилея. Преобразования Лоренца связывают не
только координаты с координатами, но и время с координатами и наоборот.
Естественно, что законы классической механики неинвариантны по отношению к
преобразованиям Лоренца. При создании релятивистской механики перед
Эйнштейном встал вопрос, как записать второй закон Ньютона, чтобы он был
инвариантен относительно преобразований Лоренца. Эйнштейном был получен
явный вид основного уравнения динамики в релятивистской форме.
Сначала нужно ввести импульс, который сохранялся бы в любой инерциальной
системе отсчета. Традиционный классический импульс [pic] оказывается
неинвариантен по отношению к преобразованиям Лоренца и, как следствие, не
сохраняется. Однако, если не меняя формы записи, измерять перемещение [pic]
в лабораторной системе отсчета К, а промежуток времени [pic] - в системе
отсчета K’, связанной с телом, то импульс будет инвариантен к
преобразованиям Лоренца и будет сохраняться. Нужно заменить [pic] на [pic].
Связь промежутков времени в различных инерциальных системах отсчета
задается формулой (12.3). [pic].
Здесь mo - классическая масса тела, ( - его скорость, измеряемая в
лабораторной системе К, а m - релятивистская масса: [pic].
Таким образом, импульс тела формально записывается также, как и в
классической механике, но понятие массы наполняется новым содержанием.
Масса в специальной теории относительности зависит от скорости частицы.
Классическую массу частицы mo можно назвать массой покоя. Масса покоя
равна массе тела, измеренной в той инерциальной системе отсчета, где тело
покоится. Ни в какой системе отсчета масса тела не может быть меньше массы
покоя. Масса покоя - еще один инвариант преобразований Лоренца.
Основное уравнение динамики движения релятивистской частицы имеет вид,
схожий с основным уравнением движения классической динамики:
[pic] однако, при дифференцировании по времени правой части нужно учесть,
что релятивистская масса не есть постоянная величина. Отметим, что
классическая формулировка второго закона Ньютона [pic] несправедлива даже с
релятивистской массой.
Уравнения динамики релятивистской частицы (12.5-12.7) нашли блестящее
подтверждение уже в 30-х годах нашего века при разработке первых
ускорителей электронов, которые были названы бетатронами. На бетатронах
электроны ускорялись в переменных электрических полях и приобретали
скорость, сравнимую со скоростью света. Тогда то и было обнаружено, что
масса частицы и траектория ее движения зависят от скорости в полном
соответствии с формулами (12.5-12.7).
Уравнения релятивистской динамики позволили Эйнштейну найти связь массы и
энергии тела. Попробуем вслед за ним найти количественной соотношение между
этими величинами. Для этого преобразуем уравнение (12.6):
[pic]Если дифференциалы величин равны, то сами величины могут различаться
на постоянную величину: [pic]. Значение этой константы можно найти из
условия, что при [pic], выражение для кинетической энергии должно
стремиться к [pic] Значение ее окажется равным [pic]. Таким образом,
получаем релятивистское выражение для кинетической энергии: [pic].
Отметим, что классические выражения для кинетической энергии, как [pic]
неприменимы, даже если в них подставить релятивистские массы.
Второе слагаемое в этом выражении имеет смысл энергии покоя, внутренней
энергии тела, энергии связанной с самим фактом существования тела и
наличием у него массы в неподвижном состоянии. Сумма кинетической энергии и
энергии покоя называется полной энергией тела. Выражение для полной энергии
можно получить из формулы (12.9).
[pic].
Мы получили самую известную формулу 20-го века, которая устанавливает
количественную связь между энергией и массой. Ее можно трактовать следующим
образом. Между полной энергией системы Е и ее массой m существует связь,
определяемая формулой (12.10). Энергия при определенных условиях может
переходит в массу, а масса - в энергию. Однако, понятие энергии не сводится
только к массе и наоборот, масса не сводится только к энергии. Тем самым
установлена связь между мерой количества материи - массой и мерой движения
материи - энергией. Эта связь является отражением факта, что материя без
движения, также, как и движение без материи не существует.
Рассмотрим пример, в котором полученная формула играет определяющую роль.
При делении ядра урана образуется два более легких ядра. При этом масса
ядра урана больше суммы масс образовавшихся ядер на величину (m. Дефект
массы (m не исчезает, а переходит в кинетическую энергию осколков -
дочерних ядер: (Е((m(c2. Кинетическая энергия этих осколков - и есть та
энергия, которая высвобождается при взрыве атомной бомбы или в атомном
реакторе.
13. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
13.1 Законы сохранения, как отражение симметрии процессов преобразования.
Идея сохранения, следствием которой являются законы сохранения, появилась
сначала как чисто философская догадка о наличии стабильного, неизменного в
вечно изменяющемся мире. Еще античные философы-материалисты пришли к
понятию материи - неучтожимой и несотворимой основы всего существующего. С
другой стороны, наблюдения постоянных изменений в природе приводило к
представлению о вечном движении материи как важнейшем ее свойстве и, как
следствие этого, к изменяемости одних и неизменности других свойств
материи.
В этом разделе мы рассмотрим законы сохранения как отражение некоторых
операций, вводимых в физике. Напомним, что законами сохранения называются
те закономерности, согласно которым численные значения некоторых параметров
или величин не меняются со временем в любых процессах или в определенном
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
