классе процессов.
Важнейшими законами сохранения, справедливыми для любых изолированных
систем, являются законы сохранения энергии, импульса, момента импульса и
электрического заряда.
Полное описание физической системы возможно только с использованием
динамических законов. Так описание движения материальной точки возможно с
использованием законов динамики или законов Ньютона. Однако во многих
случаях динамические законы системы либо неизвестны вообще, либо они
настолько сложны, что не поддаются анализу. В таких случаях законы
сохранения позволяют сделать заключения о характере поведения системы.
Причем, зачастую, это можно сделать очень простым образом.
Вспомним школьную задачу о падения тела с высоты h. Скорость тела в момент
удара о землю можно найти с использованием законов динамики: первого и
второго законов Ньютона. Но, эту же задачу можно решить, используя закон
сохранения механической энергии, как говорится, в одну строку. Приведем это
решение.
Энергия тела до падения определялась его потенциальной энергией [pic].
После момент ударом о землю его потенциальная энергия полностью перешла в
кинетическую и стала равной [pic]. Поскольку, значение энергии в процессе
падения сохранилось, названные можно приравнять и получить скорость тела в
момент падения.
[pic].
Решение задачи оказалось очень простым, благодаря использованию закона
сохранения механической энергии. Очень часто решение других, гораздо более
сложных задач значительно упрощается с использованием других законов
сохранения. Приведенный пример показывает, что чем больше законов
сохранения нам известно, тем легче и точнее мы можем описывать поведение
сложных систем. Возникает интуитивное понимание того, что законы
сохранения являются отображением каких-то более общих закономерностей
природы.
Целью настоящего раздела является рассмотрение связи законов сохранения с
некоторыми математическими операциями и преобразованиями, которые будут
введены ниже.
Любая физическая система может быть подвергнута каким-либо операциям или
преобразованиям, не изменяющим ее состояния или ее свойств. Например, можно
перейти из одной инерциальной системы отсчета в другую с использованием
преобразований Галилея. Если физические законы, устанавливающие связь между
физическими величинами или параметрами, не меняются в результате таких
операций или преобразований, то говорят, что эти законы инвариантны
относительно этих преобразований или обладают симметрией к этим
преобразованиям.
Введем некоторые из преобразований пространства и времени. Первое из них -
это перенос или сдвиг системы как целого в пространстве. Такая операция
преобразования сводится к переносу начала отсчета, либо всей системы
отсчета и задается вектором. Симметрия физических законов относительно
сдвигов в пространстве означает эквивалентность всех точек пространства. Не
существует какой-то "особой" точки в пространстве, которую можно было бы
выделить для введения абсолютной системы отсчета, абсолютной системы
координат. Этот важнейший факт принято называть однородностью пространства.
Второе преобразование - это поворот системы отсчета или системы координат в
пространстве. Его можно свести к поворотам системы относительно одной или
всех координатных осей. Симметрия физических процессов и законов
относительно этого преобразования связана с изотропностью пространства,
т.е. с эквивалентностью всех направлений в пространстве. Нет такого
направления, относительно которого мы могли бы задать, например, ось (ох),
и которое имело бы преимущества перед другими направлениями. Все
направления в пространстве равноценны.
Третье преобразование - сдвиг во времени или изменение начала отсчета
времени. Симметрия физических законов относительно сдвига во времени
означает, что законы, явления, процессы не меняются со временем, т.е.
физический процесс или явление можно повторить или воспроизвести.
Безразлично, в каком времени рассматривать физический процесс, в прошлом, в
настоящем или в будущем; он всегда будет протекать одинаково. Благодаря
этому обстоятельству можно произвольно выбирать начало отсчета времени.
Кроме названных существует еще большое количество специальных
преобразований, применимых к конкретным законам. Некоторые из них уже
известны, с другими познакомимся позже.
В 1918 году немецкий математик Э.Нетер (1882-1935) сформулировал теорему,
названную позднее его именем. Эта теорема играет огромную роль в физике и
во всем естествознании. Она устанавливает связь между свойствами симметрии
физической системы и законами сохранения. Не вдаваясь в математическую
сторону дела, рассмотрим идею теоремы Нетера. Для физической системы,
состояние которой описывается системой дифференциальных уравнений, каждому
преобразованию, непрерывно зависящему от какого-либо параметра (скорости,
времени, координат и т.д.), соответствует свой закон сохранения. При этом
на преобразования накладывается условие: при его применении должен остаться
инвариантным (т.е. неизменным) некий параметр - действие (S). Действие -
это физическая величина, имеющая размерность произведения энергии на время
или импульса на координату.
Действие - очень важный параметр в физике. Он позволяет сформулировать
принцип наименьшего действия. Содержание этого принципа заключается в том,
что если система переходит из одного состояния в другое, то этот переход
осуществляется таким образом, чтобы изменение действия было бы минимальным.
Использование принципа наименьшего действия дает еще одну возможность
описать поведение системы, найти уравнения ее движения, изучить ее
движение. В общем случае, принцип наименьшего действия указывает, в каком
направлении должно изменяться состояние системы. Из этого принципа,
например вытекают все законы геометрической оптики как в однородной, так и
в неоднородной среде. К сожалению, детальное изучение принципа наименьшего
действия требует знание таких разделов высшей математики, как вариационное
исчисление, и невозможно в рамках настоящего курса.
13.2. Фундаментальные законы сохранения.
Существует ограниченное число законов сохранения, общих для классической и
современной физики. В их числе назовем следующие фундаментальные законы
сохранения:
- закон сохранения энергии и массы,
- закон сохранения импульса или количества движения,
- закон сохранения момента импульса или
момента количества движения,
- закон сохранения электрического заряда.
При применении этих законов в первую очередь надо помнить, что они
справедливы для изолированных систем. Т.е. систем, которые не
взаимодействуют с окружающими системами или телами. Однако, не меняющийся в
изолированной системе параметр (импульс, момент импульса, энергия, заряд и
др.), может изменяться при взаимодействии этой системы с другими системами
или объектами. Например, импульс тела р(m( остается неизменным до тех пор,
пока тело не взаимодействует с другими телами. Импульс тела изменяет
действующая на него сила. Однако, если расширить систему и включить в нее и
второе тело, то суммарный импульс первого и второго тел окажется
постоянным.
Рассмотрим подробнее законы сохранения с точки зрения их преобразований
симметрии в природе. Начнем с закона сохранения энергии. Его формулировка
достаточно проста. Полная энергия изолированной системы остается постоянной
и не меняется во времени. Более точную формулировку этого закона дадим в
конце раздела. Обратимся снова к уже рассмотренному примеру. Пусть
некоторое тело поднято на высоту [pic] над поверхностью земли. В таком
случае оно обладает потенциальной энергией [pic]. Если это тело отпустить,
то оно станет падать на землю; при этом его высота, а следовательно, и
потенциальная энергия уменьшается. Она переходит в другой вид энергии - в
кинетическую энергию. До тех пор, пока тело не упало, сумма потенциальной и
кинетической энергии остается постоянной.
Что произойдет с энергией тела в момент, падения на землю. Тело
остановится, следовательно, его кинетическая энергия относительно земли
станет равной нулю. Куда денется энергия. Она не исчезнет, а перейдет в так
называемую внутреннюю энергию. Внутренней энергией тела называется сумма
кинетических и потенциальных энергий всех атомов, из которых состоит тело.
Внутренняя энергия обычно определяется параметром системы, который
называется температурой. Чем больше температура, тем больше внутренняя
энергия и тем больше скорости атомов, составляющих эту систему. Таким
образом, при падении тела на поверхность земли а его потенциальная энергия
сначала переходит в кинетическую, а затем - во внутреннюю энергию системы
тело- земля. Поскольку мерой внутренней энергии системы является
температура, потенциальная энергия поднятого тела после его падения пойдет
на нагрев самого тела и поверхности земли, Или другими словами, на
увеличение кинетической энергии атомов тела и поверхности земли. Отметим,
что если рассматривать данное тело как изолированную систему, то его полная
энергия, не сохранялась бы. Однако, со включением в систему поверхности
земли все встало на свои места. Закон сохранения энергии сработал.
Закон сохранения энергии отражает симметрию явлений природы по отношению к
переносу во времени, или, иначе, постоянство законов природы во времени.
Проще всего доказать это от противного. Покажем, что если бы законы природы
менялись во времени, то энергия не сохранялась бы. Пусть, например,
меняется во времени закон всемирного тяготения, и даже не сам закон, а
только гравитационная постоянная G (см. формулу 10.7). Поднятое в какой-то
момент времени на высоту [pic] тело будет обладать потенциальной энергией
[pic], где ускорение свободного падения равно: [pic], где М - масса Земли,
а Rз - ее радиус. Если гравитационная постоянная G, будет меняться, то
вместе с ней будет меняться потенциальная и полная механическая энергия.
Налицо нарушение закона сохранения энергии.
Отсюда вывод: если бы законы природы менялись со временем, то это привело
бы к нарушению закона сохранения энергии.
Рассмотрим закон сохранения импульса. Импульсом или количеством движения
тела называется произведение скорости поступательного движения этого тела
на его массу P(m(. Импульсом системы называется векторная сумма импульсов
всех тел, образующих эту систему. Если в системе имеются только силы
взаимодействия и нет внешних сил, то такая система называется замкнутой.
Закон сохранения импульса гласит: полный импульс изолированной системы не
меняется, т.е. остается постоянным при любых взаимодействиях внутри этой
системы. Отражением какого преобразования пространства или процесса
симметрии является этот закон? Он отражает тот факт, что сдвиг начала
системы отсчета в произвольном направлении на любое расстояние, не меняет
течения явлений природы и никак не отражается на в законах природы. Проще
всего это показать следующим образом. Пусть имеется материальная точка
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
