отсчета можно было вводить одинаковое время. Например,
считалось, что всегда можно синхронизовать часы, находящиеся в
любой точке пространства (например, на Земле и в центре
Галактики) и считать, что время в разных точках пространства
ни от чего не зависит и одинаковое.
Прежде, чем перейти к дальнейшему рассмотрению, вспомним,
что такое сила. В механике силой называется мера воздействия
на выбранное материальное тело со стороны других тел. Это
действие вызывает изменение скоростей точек тела или его
деформацию. Воздействие может передаваться как при
непосредственном контакте (давление прижатых друг к другу тел,
трение и т.д.), так и посредством создаваемых телами полей
(гравитационные, электромагнитные силы). Сила - величина
векторная, в каждый момент времени она характеризуется
численным значением, направлением в пространстве и точкой
приложения. Сложение сил осуществляется по правилу сложения
векторов- правилу параллелограмма. Прямая, вдоль которой
направлена сила назовется линией действия силы. Обычно силу
обозначают F. В общем случае сила может зависеть от координат
и времени, т.е. F = F(x,y,z,t ).
Законы физики всегда базируются на опытах, экспериментах.
Именно в рамках такого подхода Галилей создал основы
классической механики. Обратимся к некоторым из опытов
Галилея. Напомним, что в основе механики Аристотеля,
доминировавшей в тот период, лежало утверждение, что скорость
тела пропорциональна приложенной силе: (~F. Этот вопрос мы уже
обсуждали и пришли к выводу, что кажущееся проявление действие
силы связано с наличием в природе сил трения. Именно Галилей
доказал неверность положения физики Аристотеля.
В Италии в городе Пизе, в котором проживал Галилей,
имеется высокая Пизанская башня. Она интересна тем, что стоит
не вертикально, как все здания, а сильно наклонена под углом
(рис.10.1). Галилей осуществил эксперимент в ходе которого он
определял время, необходимое для падения тел с вершины
Пизанской башни.
Попытаемся восстановить ход рассуждений Галилея во время его экспериментов.
Возьмем несколько шаров одинакового размера, изготовленных из разного
вещества: свинца, меди, чугуна, дерева. Все эти тела при одинаковых
размерах и форме имеют разный вес. Вес тела характеризует силу тяготения,
действующую на тело со стороны Земли. Сила тяготения, действующая на тело
равна его весу. Если справедливо утверждение Аристотеля, то разные тела с
разным весом должны обладать разными скоростями падения и, соответственно,
достигать поверхности земли при бросании с башни за разные промежутки
времени. Однако, эксперименты, проведенные с разными телами показали, что
они достигали поверхности земли за практически одинаковые промежутки
времени.
S
h
Рис.10.1 Рис.10.2
Вывод из этих опытов однозначен. Скорость тела не определяется приложенной
силой. Приложенной силой определяется какой-то другой динамический
параметр. Галилею потребовалось много лет и много усилий, чтобы выяснить,
что же это за параметр. В этой области наиболее известны его эксперименты с
движением шаров по наклонной плоскости. Схема его опытов приведена на
рис.10.2. Шары скатывались по наклонной плоскости, длина которой и высота
были заданы. В ходе опыта Галилей определял путь S , проходимый телом в
зависимости от времени t. Им был установлен закон, являющийся частным
случаем второго закона Ньютона. Путь, проходимый телом квадратично зависит
от времени: [pic], где константа [pic](сейчас она называется ускорением)
прямо пропорциональна высоте h и обратно пропорциональна длине пути S, т.е.
[pic]. Начальная скорость тела - (0 в его опытах могла меняться. Этот закон
сегодня можно легко вывести из 2-го закона Ньютона для равноускоренного
движения. В опытах Галилея ускорение определялось ускорением свободного
падения: [pic].
Анализируя проводимые эксперименты, Галилей пришел к выводу о существовании
закона инерции. Действительно, если устремить длину основание наклонной
плоскости к бесконечности, ускорение будет стремиться к нулю, значит, за
равные промежутки времени тело будет проходить равные отрезки пути и
скорость тела будет постоянной. Тело будет само по себе двигаться по
инерции.
Кроме экспериментов Галилей использовал умозрительные заключения. Он
рассмотрел поведение тел и живых существ внутри корабля. Их поведение не
зависит от того, стоит корабль у причала или двигается по спокойной воде с
постоянной скоростью. Анализ этой ситуации привел его к выводу, что если
корабль будет двигаться с постоянной скоростью, то находясь внутри корабля
невозможно определить, движется он или стоит.
10.2 Принцип относительности Галилея. Преобразования Галилея.
Галилей ввел понятие инерциальной системы отсчета, в которой тело сохраняет
состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, если на него не
действуют другие тела (силы). Напомним, что понятие системы отсчета
включает в себя систему координат и часы. Инерциальных систем отсчета
может быть бесконечное множество.
Принцип относительности Галилея заключается в том, что все физические
законы не меняются (инвариантны) в разных инерциальных системах отсчета.
Если быть более строгими, то принцип относительности Галилея заключался в
том, что все законы механики инвариантны ( т.е. не меняются) при
применении к ним преобразований Галилея.
Для перехода из одной инерциальной системы отсчета в другую Галилей ввел
преобразования, которые теперь называют преобразованиями Галилея.
Рассмотрим следующую ситуацию. Пусть у нас имеется инерциальная система
отсчета, положение тел в которой задается декартовыми координатами.
Например, точка А на рис. 10.3.
Кроме системы координат XYZ (ее обычно обозначают К), может быть и другая
инерциальная система координат, например, X’Y’Z’ (назовем ее К’).
Инерциальная система координат К’ движется с постоянной скоростью u
относительно системы К. Пространство изотропное, в нем не существует
выделенного направления, поэтому удобно выбрать направление оси OX
совпадающим с направлением скорости u. Т.е. система К’ движется вдоль оси
OX системы отсчета К.
y’
y
v
О’ x’
z’ O x
z
x
Рис.10.3
Положение точки А в системе К задается вектором r(x,y,z) или его проекциями
на оси OX, OY и OZ, которые равны, соответственно, x, y и z. Положение той
же точки в системе К’ задаются координатами x’, y’ и z’. Связь между x, y,
z и x’, y’, z’ дается преобразованиями Галилея:
[pic]
Дополнительно к преобразованиям координат введено преобразование времени.
Одинаковость хода часов в разных инерциальных системах отсчета
соответствует концепции дальнодействия, рассмотренной выше.
Введем понятие инварианта и инвариантности. Инвариантность означает
независимость, неизменность относительно каких-либо физических условий. В
математике под инвариантностью понимается неизменность величины
относительно каких-либо преобразований. Рассмотрим, какие параметры не
меняются при преобразованиях Галилея, т.е. являются инвариантами этих
преобразований.
Первый из этих параметров - время. При переходе от одной инерциальной
системы отсчета к другой не меняется как само время t=t’, так и
длительность какого-либо события [pic]:
[pic].
Помимо времени, неизменным остается расстояние между двумя точками.
Обозначим расстояние между точками А и В через [pic] в системе K и [pic] в
системе K’. Координаты этих точек, соответственно, [pic] в системе K и
[pic] в системе К’. Расстояние между точками определяется их координатам по
теореме Пифагора:
[pic]
Продифференцируем по времени соотношения (10.1) и получим преобразования
Галилея для скоростей:
[pic]
Из этих формул видно, что при переходе от системы К к К’ изменится лишь
проекция скорости на ось OX, вдоль которой движется система К’, проекции
скорости на направления других осей сохранятся. Продифференцируем эти
выражения по времени еще раз и получим закон преобразования ускорений при
переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую:
[pic]
Из этих выражений видно, что все три проекции ускорения на оси координат
остаются неизменными при переходе из системы отсчета К в К’. Таким образом,
ускорение тоже является инвариантом преобразований Галилея.
Закон сохранения массы был сформулирован уже после Галилея и Ньютона. Но,
для полноты картины, добавим, что в классической механике масса тела не
зависит от выбора системы отсчета и также является инвариантом
преобразований Галилея.
10.3. Законы классической механики и их инвариантность относительно
преобразований Галилея.
Создание основ классической механики завершается трудами И.Ньютона,
сформулировавшего основные законы механики и открывшего закон всемирного
тяготения. Классическая механика Ньютона базировалась на работах Галилея,
Декарта, Паскаля, Гука и многих других.
Раздел механики, в котором изучаются причины движения тел, т.е. силы,
вызывающие их движение, называется динамикой. Основные законы механики,
сформулированные Ньютоном дошли почти без изменений до наших дней. Они
известны из школьного курса физики. Напомним их.
Первый закон Ньютона. Всякое тело в инерциальной системе отсчета сохраняет
состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока воздействие
со стороны других тел не заставит его изменить это состояние.
Второй закон Ньютона. Ускорение тела прямо пропорционально сумме сил,
действующих на него и обратно пропорционально его массе. Запишем этот
закон в векторной форме с учетом кинематических соотношений
[pic]
В этих формулировках мы использовали понятие импульса или количества
движения P = m((, которое было введено Декартом. Закон Ньютона, записанный
в виде (10.6.а) или (10.6.б) с математической точки зрения имеет вид
дифференциального уравнения, т.е. уравнения в котором значение функции
связывается со значением ее производной. Любая из формулировок (10.6.а,б)
второго закона Ньютона называется основным уравнением динамики. Решение
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
