инерции переносного движения будет меняться положение свободной поверхности
жидкости и поверхностей равного давления относительно стенок сосуда и
относительно горизонтальной плоскости. Вид этих поверхностей целиком
зависти от комбинации ускорений переносного движения и ускорения сил
тяжести. В литературе состояние равновесия жидкости при наличии переносного
движения называется относительным покоем жидкости. Любые комбинации
ускорений сводятся к двум возможным видам равновесия жидкости
Равновесие жидкости при равномерно ускоренном прямолинейном движении
сосуда. Примером может быть равновесие жидкости в цистерне, движущейся с
некоторым ускорением а. В этом случае на жидкость будут действовать силы
тяжести [pic] и сила инерции равномерно укоренного движения цистерны[pic].
Тогда равно-
действующая единичная массовая сила определиться как сумма векторов
ускорения переносного движения и ускорения свободного падения.
[pic]
При данных условиях вектор единичной массовой силы переносного движения а
будет направлен в сторону противоположную движению цистерны, ускорение
свободного падения g, как всегда ориентировано вертикально вниз, т.е. как
показано на рисунке. При движении цистерны начальное положение свободной
поверхности жидкости изменится. Новое положение свободной поверхности
жидкости, согласно основному условию равновесия жидкости будет направлена
перпендикулярно вектору[pic], т.к., равнодействующий вектор массовых сил
должен быть направлен по внутренней нормали к свободной поверхности
жидкости. Наклон свободной поверхности жидкости к горизонтальной плоскости
определяется соотношением ускорений[pic]
Выберем некоторую точку М расположенную внутри жидкости на глубине[pic]под
уровнем свободной поверхности (расстояние до свободной поверхности жидкости
измеряется по нормали к этой поверхности). В точке М выделим малую площадку
[pic]параллельную свободной поверхности жидкости. Тогда уравнение
равновесия жидкости запишется в следующем виде:
[pic]
Величину[pic]заменим эквивалентной величиной[pic], где h -погружение точки
М под уровень свободной поверхности жидкости (измеряется по вертикали). Эти
две величины
одинаковы, т.к. [pic]. После этих преобразований уравнение равновесия
жидкости в цистерне примет привычный вид, соответствующий записи основного
закона гидростатики:
[pic]
Таким образом, давление в любой точке жидкости будет зависеть только от
положения этой точки относительно уровня свободной поверхности жидкости.
Поверхности равного давления будут параллельны свободной поверхности
жидкости, и иметь такой же уклон[pic]
Равновесие жидкости в равномерно вращающемся сосуде. Свободная поверхность
жидкости, залитой в цилиндрический сосуд и находящейся под действием сил
тяжести примет форму горизонтальной плоскости на некотором
уровне[pic]относительно дна сосуда. После того как мы приведём сосуд во
вращение вокруг его вертикальной оси с некоторой постоянной угловой
скоростью со = const, начальный уровень свободной поверхности жидкости
изменится: в центре сосуда он понизится, а по краям сосуда повысится. При
этом форма свободной поверхности примет явно вид криволинейной поверхности
вращения. Это явление объясняется тем, что [pic] при вращении сосуда вокруг
своей оси жидкость в нём будет испытывать ускорение переносного
движения[pic] направленное в сторону стенок сосуда. Поскольку
равнодействующая двух сил: силы тяжести и центробежной силы должна быть
направлена по нормали к свободной поверхности жидкости в каждой точке
поверхности, то эта равнодействующая будет иметь, как быль сказано выше,
две составляющие соответственно силу тяжести, направленную вертикально вниз
и центробежную, направленную в горизонтальной плоскости.
[pic]
В каждой точке свободной поверхности жидкости АОВ вектор углового ускорения
[pic] будет направлен под некоторым углом а по отношению к касательной
плоскости, проходящей через данную точку свободной поверхности.
[pic]
Отсюда:
[pic]
В центре на оси вращения, на расстоянии [pic]от дна сосуда будет
расположена
самая низкая точка свободной поверхности жидкости, т.е.[pic]
[pic]
Отсюда: свободная поверхность жидкости находящейся в равномерно вращающемся
вокруг его вертикальной оси сосуде будет иметь вид параболоида вращения
(кривая АОВ-парабола).
Выберем любую точку жидкости на глубине под свободной поверхностью h (в
частности точка находится на дне сосуда), тогда давление в ней будет равно:
[pic]
Этот вывод можно распространить и на более сложные случаи вращения сосуда,
наклоняя ось его вращения под углом к горизонту; результат получим тот же,
что подтверждает универсальность формулы основного уравнения гидростатики.
2.4. Дифференциальное уравнение равновесия жидкости
После рассмотрения некоторых частных случаев равновесия жидкости рассмотрим
общее диф[pic] ференциальное равновесия в самом общем виде. Для этой цели
выделим отсек жидкости малых размеров в виде параллелепипеда. Масса
жидкости в выделенном объёме:
[pic]
На боковые грани параллелепипеда действуют силы давления: (на левую и
правую грани соответственно):[pic]. На переднюю и заднюю грани: [pic], на
нижнюю
и верхнюю грани:[pic]
[pic]
Поскольку давление на правую грань больше, то i[pic]
По аналогии можно записать силы давления на остальные пары граней.
на переднюю [pic], на заднюю [pic], на нижнюю
[pic] , на верхнюю[pic] Проекции массовых сил на координатные оси:
на ось ОХ будет на ось ОУ будет
на ось OZ будет[pic] Тогда сумма сил действующих вдоль оси ОХ:
[pic]
сумма сил действующих вдоль оси 07:
[pic]
сумма сил действующих вдоль оси OZ:
[pic]
где:[pic], проекции ускорения массовых сил на координатные оси.
После преобразования получим систему дифференциальных уравнений равновесия
жидкости:
[pic] i i >
2.5. Сообщающиеся сосуды
В своей практической деятельности человек часто сталкивается с вопросами
равновесия жидкости в сообщающихся сосудах, когда два сосуда А и В
соединены между собой жёстко или гибким шлангом. Сами сосуды (А и В) обычно
называются коленами. Такой гидравлический элемент часто используется в
различных гидравлических машинах (гидравлические прессы и др.), системах
гидропривода и гидроавтоматики, различных измерительных приборах и в ряде
других случаев. С природ[pic] ными сообщающимися сосудами человек
встречается с давних пор: сообщающимися сосудами больших размеров являются
водонасыщенные пласты горных пород с системой колодцев, играющих роль
отдельных колен природной гидродинамической системы.
В открытых сообщающихся сосудах, заполненных однородной жидкостью свободный
уровень жидкости устанавливается на одном и том же уровне в обоих коленах.
Если в коленах сосудов залиты две несмешивающиеся жидкости с различной
плотностью, то свободные уровни жидкости в правом и левом коленах
устанавливаются на разных высотах в зависимости от соотношения плотностей
жидкостей.
Для типичного случая, изображённого на рисунке, запишем уравнение
равновесия жидкости относительно уровня раздела жидкостей.
или:[pic]
В закрытых сообщающихся сосудах давления на свободную поверхность могут
быть шными, тогда уравнение равновесия будет иметь следующий вид:
[pic]
2.6. Сила давления жидкости па плоскую поверхность, погружённую в
жидкость
Согласно основному закону гидростатики величина давления р определяется
глубиной погружения точки под уровень свободной поверхности h жидкости и
величиной
плотности жидкости р.
Для горизонтальной поверхности величина давления одинакова во всех точках
этой поверхности, т.к.:
[pic] Отсюда:[pic]
[pic]
Таким образом, Сила давления жидкости на горизонтальную поверхность (дно
сосуда) равно произведению площади этой поверхности на величину давления на
глубине погружения этой поверхности. На рисунке показан так называемый
«гидравлический парадокс», здесь величины силы давления на дно всех сосудов
одинаковы, независимо от формы стенок сосудов и их физической высоты, т.к.
площади доньев у всех сосудов одинаковы, одинаковы и величины давлений.
Сила давления на наклонную поверхность, погруженную в жидкость.
Практическим примером такой поверхности может служить наклонная стенка
сосуда. Для вывода урав-
нения и вычисления силы давления на стенку выберем следующую систему
координат: ось ОХ направим вдоль пересечения плоскости свободной
поверхности жидкости с наклонной стенкой, а ось OZ направим вдоль этой
стенки перпендикулярно оси ОХ. Тогда в качестве координатной плоскости XOZ
будет выступать сама наклонная стенка. На плоскости стенки выделим малую
площадку[pic], которую, в связи с малыми размерами можем считать
горизонтальной. Величина давления на глубине площадки будет равна:
[pic]
где: h - глубина погружения площадки относительно свободной поверхности
жидкости (по вертикали).
[pic] Сила[pic]давления[pic]dP на площадку:
Для определения силы давления
на всю смоченную часть наклонной стенки (часть площади стенки сосуда,
расположенная ниже уровня свободной поверхности жидкости) необходимо
проинтегрировать это уравнение по всей смоченной части площади стенки S .
[pic]
Интеграл[pic] представляет собой статический момент площади S относительно
оси ОХ. Он, как известно, равен произведению этой площади на координату её
центра тяжести zc. Тогда окончательно:
[pic]
Таким образом, сила давления на наклонную плоскую поверхность, погружённую
в жидкость равна смоченной площади этой поверхности на величину давления в
центре тяжести этой площади. Сила давления на плоскую стенку кроме величины
и направления характеризуется также и точкой приложения этой силы, которая
называется центром давления.
Центр давления силы атмосферного давления p0S будет находиться в центре
тяжести площадки, поскольку атмосферное давление передаётся на все точки
жидкости одинаково. Центр давления самой жидкости на площадку можно
определить исходя из теоремы о моменте равнодействующей силы. Согласно этой
теореме момент равнодействующей
силы относительно оси ОХ будет равен сумме моментов составляющих сил
относительно этой же оси.
[pic]
откуда:[pic]
где:- положение центра избыточного давления на вертикальной оси,
[pic] - момент инерции площадки S относительно оси ОХ.
Отсюда центр давления (точка приложения равнодействующей силы избыточного
давления) расположен всегда ниже центра тяжести площадки. В сучаях, когда
внешнней действующей силой на свободную поверхность жидкости является сила
атмосферного давления, то на стенку сосуда будут одновременно действовать
две одинаковые по величине и противоположные по направлению силы
обусловленные атмосферным давлением (на внутреннюю и внешнюю стороны
стенки). По этой причине реальной действующей несбалансированной силой
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18
