стать отрицательным . Изменение знака происходит когда
GN0 = 2( (3.10)
Это условие есть условие порога лазерной генерации .
Из теории бифуркации следует , что при k > 0 лазерной генерации нет ,
в то время как при k < 0 лазер испускает фотоны.
Ниже или выше порога лазер работает в совершено разных режимах .
Решим уравнение (3.8) и проанализируем его аналитически :
- это уравнение одномодового лазера .
Запишем уравнение (3.8) в следующем виде :
[pic]
Разделим исходное уравнение на n2 .
[pic]
и введем новую функцию Z :
1/n = n-1 = Z ( Z1 = - n-2 следовательно уравнение примет вид :
[pic]
перепишем его в следующем виде :
[pic]
разделим обе части данного уравнения на -1 , получим
[pic] (3.11)
Уравнение (3.11) - это уравнение Бернулли , поэтому сделаем следующую
замену Z = U(V , где U и V неизвестные пока функции n , тогда
Z1 = U1 V + U V1 .
Уравнение (3.11) , после замены переменных , принимает вид
U1 V + UV1 - k UV = k1
преобразуем , получим
U1 V + U(V1 - k V) = k1 (3.12)
Решим уравнение (3.12)
V1 - k V = 0 ( dV/dt = k V
сделаем разделение переменных dV/V =k dt ( ln V = k t
результат V = ekt (3.13)
Отсюда мы можем уравнение (3.12) переписать в виде :
U1 ekt = k1
- это то же самое , что dU/dt = k1e-kt , dU = k1e -kt dt
выразим отсюда U , получим
[pic] (3.14)
По уравнению Бернулли мы делали замену Z = U V подставляя уравнения
(3.13) и (3.14) в эту замену , получим
[pic]
Ранее вводили функцию Z = n-1 , следовательно
[pic] (3.15)
Начальное условие n0=1/(c-k1/k) , из этого условия мы можем
определить константу с следующим образом
[pic]
Подставляя , найденную нами константу в уравнение (3.15) , получим
[pic] (3.16)
Исследуем функцию (3.16) при k = 0 , k < 0 , k > 0 .
При k(0 ; ekt ( 0 ; (ekt - 1)(0 , то есть (ekt - 1)(k1/k(0((
(неопределенность) , раскроем эту неопределенность по правилу Лопиталя .
Эту неопределенность вида 0(( следует привести к виду [pic] . При
этом , как и всегда при применении правила Лопиталя , по ходу вычислений
рекомендуется упрощать получившиеся выражения , следующим образом :
[pic]
n(k)при k(0 ( 0 , следовательно [pic]
Перепишем (3.16) в следующем виде
[pic]
Линеаризуем нелинейное уравнение , получим
[pic]
[pic]ln n = - kt + c ( [pic]
Построим график для этих условий
[pic]
Рис. 3.3 К самоорганизации в одномодовом лазере :
кривая 1 : k < 0 , режим лазерной генерации
кривая 2 : k = 0 , точка бифуркации , порог
кривая 3 : k > 0 , режим лампы.
При k = 0 уравнение (3.8) примет вид
[pic]
решая его , получим
[pic]
[pic] (3.8)
При условии [pic] ; n(t) = const , функция (3.8) приближается к
стационарному состоянию , не зависимо от начального значения n0 , но в
зависимости от знаков k и k1 (смотри рисунок 3.3).
Таким образом , функция (3.8) принимает стационарное решение
[pic]
3.3. ДИНАМИКА ПОПУЛЯЦИИ .
О распространении и численности видов была собрана обширная информация .
Макроскопической характеристикой , описывающей популяцию , может быть число
особей в популяции . Это число играет роль параметра порядка . Если
различные виды поддерживаются общим пищевым ресурсом , то начинается
межвидовая борьба , и тогда применим принцип Дарвина : выживает наиболее
приспособленный вид . ( Нельзя не отметить сильнейшую аналогию ,
существующую между конкуренцией лазерных мод и межвидовой борьбой ). Если
имеются однотипные пищевые ресурсы , то становится возможным
сосуществование видов . Численность видов может быть подвержена временным
колебаниям.
ОДИН ВИД.
Рассмотрим сначала одну популяцию с числом особей в ней n . При наличии
пищевых ресурсов А особи размножаются со скоростью :
[pic]
и гибнут со скоростью :
[pic]
Здесь k и d - некоторые коэффициенты рождаемости и смертности , в
общем случае зависящее от параметров внешней среды обитания . Если бы
количество пищи было неограниченно , то эволюционное уравнение выглядело бы
так :
[pic]
Введем обозначение ( = kA - d
Оно было бы линейным и описывало бы неограниченный экспериментальный
рост (при kA > d), либо экспериментальную гибель (при kA < d) популяции.
[pic]
Рис. 3.4 Кривая 1: Экспоненциальный рост ; (>0 , kA>d
Кривая 2: Экспоненциальная гибель ; (>0 , kA>d.
[pic]
В общем случае , однако , пищевые ресурсы ограничены , так что скорость
потребления пищи
[pic]
Вместе с тем в общем случае возможно восстановление пищевых ресурсов со
скоростью :
[pic]
Здесь , конечно , рассмотрен придельный случай сохранения полного
количества органического вещества
A + n = N = const ,
N - способность среды обитания поддерживать популяцию.
Тогда с учетом A = N - n получится следующее уравнение эволюции
популяции одного вида (логистическое уравнение Ферхюльста ) :
[pic] (3.17)
Решим уравнение (3.17) аналитически , перепишем его следующим образом
[pic] , обозначим kN - d = k1
Получим :
[pic]
Воспользуемся [pic]табличным интегралом , [pic] ,полученное уравнение
примет вид :
[pic][pic]
решим это уравнение , преобразуя
[pic]
[pic]
сократим полученное выражение на k , и перенесем переменную k1 в правую
часть , получим
[pic]
отсюда n(t) ( [pic]
[pic]
Начальные условия :
[pic]
откуда
[pic]
Подставляя с в решение , получим уравнение в следующем виде
[pic]
ранее мы обозначали , что [pic] , подставляем и преобразуем
[pic]
сократим на k - коэффициент рождаемости , окончательно получим решение
уравнения (3.17)
[pic]
Итак , получено аналитическое решение логистического уравнения - это
решение указывает на то , что рост популяции останавливается на некотором
конечном стационарном уровне:
[pic]
то есть параметр n1 указывает высоту плато насыщения , к которому
стремится n(t) с течением времени .
Параметр n0 указывает начальное значение численности одного вида
популяции : n0 = n(t0) . Действительно , [pic] ,то есть n1 - предельная
численность вида в данной среде обитания . Иначе говоря , параметр n1
характеризует емкость среды по отношению к данной популяции . И наконец ,
параметр (kN - d) задает крутизну начального роста .
Отметим , что при малой исходной численности n0 (начальное число
особи) начальный рост популяций будет почти экспоненциальным
[pic]
Рис. 3.5. Логистическая кривая.
(эволюция популяции одного вида)
Решение уравнения (3.17) можно представить с помощью логистической
кривой (рис. 3.5) . Эволюция полностью детерминирована . Популяция
перестает расти , когда ресурс среды оказывается исчерпанным .
Самоорганизация - при ограниченном пищевом ресурсе. Система
самоорганизованна и взрывоподобный рост популяции (рис. 3.4 Кривая 1)
сменяется кривой с насыщением .
Подчеркнем , что при описании данной биологической системы используют
понятийный и физико-математический аппарат из нелинейной неравновесной
термодинамики.
Может случится , однако, что всегда за событиями , не управляемыми в
рамках модели , в той же среде появится , первоначально в малых количествах
, новые виды (характеризуемые другими экологическими параметрами k,N и d)
. В связи с такой экологической флуктуацией возникает вопрос о структурной
устойчивости : новые виды могут либо исчезнуть , либо вытеснить
первоначальных обитателей . Пользуясь линейным анализом устойчивости , не
трудно показать , что новые виды вытесняют старые только в том случае ,
если
[pic]
Последовательность , в которой виды заполняют экологическую нишу ,
представлена на рисунке 3.6.
[pic]
Рис. 3.6. Последовательное заполнение экологической
ниши различными видами .
Эта модель позволяет придать точным количественный смысл утверждению о
том , что «выживает наиболее приспособленный» , в рамках задачи о
заполнении заданной экологической ниши .
2. СИСТЕМА «ЖЕРТВА - ХИЩНИК».
Рассмотрим систему, состоящую из двух видов - это «жертва» и «хищник»
(например , зайцы и лисицы) , то эволюция системы и ее самоорганизация
выглядят иначе , чем в предыдущем случае.
Пусть в биологической системе имеются две популяции - «жертв» - кролики
(К) , и «хищников» - лисиц (Л), численностью К и Л .
Проведем теперь рассуждение , которое позволит нам объяснить
существование диссипативных структур .
Кролики (К) поедают траву (Т) . Предположим , что запас травы постоянен
и неисчерпаем . Тогда , одновременное наличие травы и кроликов способствуют
неограниченному росту кроличьей популяции . Этот процесс можно символически
изобразить так :
Кролики + Трава ( Больше кроликов
К + Т ( 2К
Тот факт , что в стране кроликов всегда имеется в достатке травы ,
вполне аналогичен непрерывному подводу тепловой энергии в задаче с ячейками
Бенара . Вскоре процесс , в целом , будет выглядеть как диссипативный (во
многом аналогично процессу Бенара ).
Реакция « Кролики - Трава » происходит спонтанно в направлении
увеличения популяции кроликов, что является прямым следствием второго
начала термодинамики .
Но вот в нашу картину , где мирно резвятся кролики , прокрались хищные
лисицы (Л), для которых кролики являются добычей . Подобно тому , как по
мере поедания травы кроликов становится больше , за счет поедания кроликов
возрастает число лисиц :
Лисицы + Кролики ( Больше лисиц
Л + К ( 2Л
В свою очередь лисицы , как и кролики являются жертвами - на этот раз
человека , точнее говоря происходит процесс
Лисицы ( Меха
Конечный продукт - Меха , не играет непосредственной роли в дальнейшем
ходе процесса . Этот конечный продукт можно , однако , рассматривать как
носитель энергии, выводимой из системы , к которой она была в начале
подведена (например, в виде травы ).
Таким образом , в экологической системе также существует поток энергии -
аналогично тому , как это имеет место в химической пробирке или
биологической клетке .
Совершенно ясно , что в действительности происходят периодические
колебания численности популяции кроликов и лисиц , причем за нарастании
численности кроликов следует нарастание численности лисиц , которые
сменяются уменьшением численности кроликов , сопровождающимся столь же
резким снижением численности лисиц , затем повышенным подъемом численности
кроликов и так далее (рис. 3.7).
[pic]
Рис. 3.7. Изменение численности популяций кроликов и лисиц
со временем. Наличие периодичности означает
возникновение экологической структуры.
С течением времени численность обеих популяций меняется в соответствии с
последовательным прохождением точек графика . Через некоторое время
(конкретное значение зависит от быстроты поедания лисицами кроликов , а так
же от скорости размножения обоих видов) весь цикл начинается вновь.
Поведение популяций при различных степенях плодовитости , а так же
различных способностях избегать истребления можно изучить количественно с
помощью программы : ПОПУЛЯЦИЯ (в приложении).
Эта программа реализует решение уравнений для диссипативной структуры
«кролики - лисицы». Результат решения изображается графически . Решается
система дифференциальных уравнений
[pic]
Здесь буквы К, Л, Т - означают соответственно количество кроликов ,
лисиц , травы ; коэффициенты k1, k2, k3 - обозначают соответственно
скорость рождения кроликов , скорость поедания кроликов лисицами и скорость
гибели лисиц.
В программе понадобится уточнить значение отношений (примерно равное 1),
постоянное количество травы (так же принимаемое обычно равным 1), начальные
значения популяции кроликов и лисиц (обычно 0,4), продолжительность цикла
(типичное значение 700) и шаг по оси времени (обычно равный 1).
Программа популяции - это график. Он показывает поведение популяций при
различных степенях плодовитости , а так же различных способностях избегать
истребление.
Совершенно ясно , что в действительности происходят периодические
колебания численности популяции кроликов и лисиц , причем за нарастании
численности кроликов следует нарастание численности лисиц , которые
сменяются уменьшением численности кроликов , сопровождающимся столь же
резким снижением численности лисиц , затем повышенным подъемом численности
кроликов и так далее, то есть видно , что система самоорганизуется.
Программа прилагается.
[pic]
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
Мы видели , что необратимость времени тесно связана с неустойчивостями в
открытых системах . И.Р. Пригожин определяет два времени . Одно -
динамическое , позволяющее задать описание движения точки в классической
механике или изменение волновой функции в квантовой механике . Другое время
- новое внутренние время , которое существует только для неустойчивых
динамических систем . Оно характеризует состояние системы , связанное с
энтропией .
Процессы биологического или общественного развития не имеют конечного
состояния . Эти процессы неограниченны . Здесь , с одной стороны , как мы
видели , нет какого-либо противоречия со вторым началом термодинамики , а с
другой стороны - четко виден поступательный характер развития (прогресса) в
открытой системе. Развитие связано , вообще говоря , с углублением
неравновесности , а значит , в принципе с усовершенствованием структуры .
Однако с усложнением структуры возрастает число и глубина неустойчивостей ,
вероятность бифуркации .
Успехи решения многих задач позволили выделить в них общие
закономерности , ввести новые понятия и на этой основе сформулировать новую
систему взглядов - синергетику . Она изучает вопросы самоорганизации и
поэтому должна давать картину развития и принципы самоорганизации сложных
систем , чтобы применять их в управлении . Эта задача имеет огромное
значение , и , по нашему мнению , успехи в ее исследовании будут означать
продвижение в решении глобальных задач : проблемы управляемого
термоядерного синтеза , экологических проблем , задач управления и других .
Мы понимаем , что все приведенные в работе примеры относятся к модельным
задачам , и многим профессионалам , работающим в соответствующих областях
науки , они могут показаться слишком простыми . В одном они правы :
использование идей и представлений синергетики не должно подменять
глубокого анализа конкретной ситуации . Выяснить , каким может быть путь от
модельных задач и общих принципов к реальной проблеме - дело специалистов.
Кратко можно сказать так : если в изучаемой системе можно выделить один
самый важный процесс (или небольшое их число) , то проанализировать его
поможет синергетика . Она указывает направление , в котором нужно двигаться
. И , по-видимому , это уже много.
Исследование большинства реальных нелинейных задач было невозможно без
вычислительного эксперимента , без построения приближенных и качественных
моделей изучаемых процессов (синергетика играет важную роль в их создании).
Оба подхода дополняют друг друга . Эффективность применения одного зачастую
определяется успешным использованием другого . Поэтому будущее синергетики
тесно связано с развитием и широким использованием вычислительного
эксперимента .
Изученные в последние годы простейшие нелинейные среды обладают сложными
и интересными свойствами . Структуры в таких средах могут развиваться
независимо и быть локализованы, могут размножаться и взаимодействовать .
Эти модели могут оказаться полезными при изучении широкого круга явлений .
Известно , что имеется некоторая разобщенность естественно научной и
гуманитарной культур . Сближение , а в дальнейшем , возможно ,
гармоническое взаимообогащение этих культур может быть осуществлено на
фундаменте нового диалога с природой на языке термодинамики открытых систем
и синергетики .
[pic]
[pic]
ЛИТЕРАТУРА :
1. Базаров И.П. Термодинамика. - М.: Высшая школа, 1991 г.
Гленсдорф П. , Пригожин И. Термодинамическая теория структуры ,
устойчивости и флуктуаций. - М.: Мир, 1973 г.
Карери Д. Порядок и беспорядок в структуре материи. - М.: Мир, 1995 г.
Курдюшов С.П. , Малинецкий Г.Г. Синергетика - теория самоорганизации. Идеи
, методы перспективы. - М.: Знание, 1983 г.
Николис Г. , Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. - М.:
Мир, 1979 г.
Николис Г. , Пригожин И. Познание сложного. - М.: Мир, 1990 г.
Перовский И.Г. Лекции по теории дифференциальных уравнений. - М.: МГУ,
1980 г.
Попов Д.Е. Междисциплинарные связи и синергетика. - КГПУ, 1996 г.
Пригожин И. Введение в термодинамику необратимых процессов. - М.:
Иностранная литература , 1960 г.
Пригожин И. От существующего к возникающему. - М.: Наука, 1985 г.
Синергетика , сборник статей. - М.: Мир, 1984 г.
Хакен Г. Синергетика . - М.: Мир , 1980 г.
Хакен Г. Синергетика . Иерархия неустойчивостей в самоорганизующихся
системах и устройствах . - М.: Мир , 1985 г.
Шелепин Л.А. В дали от равновесия. - М.: Знание, 1987 г.
Эйген М. , Шустер П. Гиперцикл . Принципы самоорганизации макромолекул . -
М.: Мир , 1982 г.
Эткинс П. Порядок и беспорядок в природе. - М.: Мир , 1987 г
[pic]
