|2. [pic]. |
|3. [pic] |
| [pic]. |
|4. Принимая начальную фазу напряжения за нуль, запишем: |
|[pic]. |
|Тогда |
|[pic]. |
|5. Поскольку ток распределяется обратно пропорционально сопротивлению ветвей (это|
|вытекает из закона Ома), то |
|[pic] |
|6. [pic]. |
|7. Аналогичный результат можно получить, составив для данной схемы уравнения по |
|законам Кирхгофа в комплексной форме |
|[pic] |
| |
|[pic] |
| |
|или после подстановки численных значений параметров схемы |
| |
|Специальные методы расчета |
| |
|Режим работы любой цепи полностью характеризуется уравнениями, составленными на |
|основании законов Кирхгофа. При этом необходимо составить и решить систему с n |
|неизвестными, что может оказаться весьма трудоемкой задачей при большом числе n |
|ветвей схемы. Однако, число уравнений, подлежащих решению, может быть сокращено, если|
|воспользоваться специальными методами расчета, к которым относятся методы контурных |
|токов и узловых потенциалов. |
| |
|Метод контурных токов |
|Идея метода контурных токов: уравнения составляются только по второму закону |
|Кирхгофа, но не для действительных, а для воображаемых токов, циркулирующих по |
|замкнутым контурам, т.е. в случае выбора главных контуров равных токам ветвей связи. |
|Число уравнений равно числу независимых контуров, т.е. числу ветвей связи графа |
|[pic]. Первый закон Кирхгофа выполняется автоматически. Контуры можно выбирать |
|произвольно, лишь бы их число было равно [pic] и чтобы каждый новый контур содержал |
|хотя бы одну ветвь, не входящую в предыдущие. Такие контуры называются независимыми. |
|Их выбор облегчает использование топологических понятий дерева и ветвей связи. |
|Направления истинных и контурных токов выбираются произвольно. Выбор положительных |
|направлений перед началом расчета может не определять действительные направления |
|токов в цепи. Если в результате расчета какой-либо из токов, как и при использовании |
|уравнений по законам Кирхгофа, получится со знаком “-”, это означает, что его |
|истинное направление противоположно. |
|Пусть имеем схему по рис. 3. |
|Выразим токи ветвей через контурные токи: |
| [pic]; |
| [pic]; [pic]; |
| [pic]; [pic]. |
|Обойдя контур aeda, по второму закону Кирхгофа имеем |
|[pic]. |
|Поскольку [pic], |
|то |
|[pic]. |
|Таким образом, получили уравнение для первого контура относительно контурных токов. |
|Аналогично можно составить уравнения для второго, третьего и четвертого контуров: |
|[pic] |
|совместно с первым решить их относительно контурных токов и затем по уравнениям, |
|связывающим контурные токи и токи ветвей, найти последние. |
|Однако данная система уравнений может быть составлена формальным путем: |
|[pic] |
|При составлении уравнений необходимо помнить следующее: |
|[pic] - сумма сопротивлений, входящих в i-й контур; |
|[pic] - сумма сопротивлений, общих для i-го и k-го контуров, причем [pic]; |
|члены на главной диагонали всегда пишутся со знаком “+”; |
|знак “+” перед остальными членами ставится в случае, если через общее сопротивление |
|[pic] i-й и k- й контурные токи проходят в одном направлении, в противном случае |
|ставится знак “-”; |
|если i-й и k- й контуры не имеют общих сопротивлений, то [pic]; |
|в правой части уравнений записывается алгебраическая сумма ЭДС, входящих в контур: со|
|знаком “+”, если направление ЭДС совпадает с выбранным направлением контурного тока, |
|и “-”, если не совпадает. |
|В нашем случае, для первого уравнения системы, имеем: |
|[pic] |
|Следует обратить внимание на то, что, поскольку [pic], коэффициенты контурных |
|уравнений всегда симметричны относительно главной диагонали. |
|Если в цепи содержатся помимо источников ЭДС источники тока, то они учитываются в |
|левых частях уравнений как известные контурные токи: k- й контурный ток, проходящий |
|через ветвь с k- м источником тока равен этому току [pic]. |
| |
|Метод узловых потенциалов |
|Данный метод вытекает из первого закона Кирхгофа. В качестве неизвестных принимаются |
|потенциалы узлов, по найденным значениям которых с помощью закона Ома для участка |
|цепи с источником ЭДС затем находят токи в ветвях. Поскольку потенциал – величина |
|относительная, потенциал одного из узлов (любого) принимается равным нулю. Таким |
|образом, число неизвестных потенциалов, а следовательно, и число уравнений равно |
|[pic], т.е. числу ветвей дерева [pic]. |
|Пусть имеем схему по рис. 4, в которой примем [pic]. |
|Допустим, что [pic] и [pic] известны. Тогда значения токов на основании закона Ома |
|для участка цепи с источником ЭДС |
|[pic] |
|Запишем уравнение по первому закону Кирхгофа для узла а: |
|[pic] |
|и подставим значения входящих в него токов, определенных выше: |
|[pic]. |
|Сгруппировав соответствующие члены, получим: |
|[pic]. |
|Аналогично можно записать для узла b: |
|[pic]. |
|Как и по методу контурных токов, система уравнений по методу узловых потенциалов |
|может быть составлена формальным путем. При этом необходимо руководствоваться |
|следующими правилами: |
|1. В левой части i-го уравнения записывается со знаком “+”потенциал [pic] i-го |
|узла, для которого составляется данное i-е уравнение, умноженный на сумму |
|проводимостей [pic] ветвей, присоединенных к данному i-му узлу, и со знаком |
|“-”потенциал [pic] соседних узлов, каждый из которых умножен на сумму проводимостей |
|[pic] ветвей, присоединенных к i-му и k-му узлам. |
|Из сказанного следует, что все члены [pic], стоящие на главной диагонали в левой |
|части системы уравнений, записываются со знаком “+”, а все остальные – со знаком “-”,|
|причем [pic]. Последнее равенство по аналогии с методом контурных токов обеспечивает |
|симметрию коэффициентов уравнений относительно главной диагонали. |
|2. В правой части i-го уравнения записывается так называемый узловой ток [pic], |
|равный сумме произведений ЭДС ветвей, подходящих к i-му узлу, и проводимостей этих |
|ветвей. При этом член суммы записывается со знаком “+”, если соответствующая ЭДС |
|направлена к i-му узлу, в противном случае ставится знак “-”. Если в подходящих к |
|i-му узлу ветвях содержатся источники тока, то знаки токов источников токов, входящих|
|в узловой ток простыми слагаемыми, определяются аналогично. |
|В заключение отметим, что выбор того или иного из рассмотренных методов определяется |
|тем, что следует найти, а также тем, какой из них обеспечивает меньший порядок |
|системы уравнений. При расчете токов при одинаковом числе уравнений предпочтительнее |
|использовать метод контурных токов, так как он не требует дополнительных вычислений с|
|использованием закона Ома. Метод узловых потенциалов очень удобен при расчетах |
|многофазных цепей, но не удобен при расчете цепей со взаимной индуктивностью. |
| |
|Литература |
| |
|1. Основы теории цепей: Учеб.для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, |
|С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с. |
|2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. |
|для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей|
|вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с |
|. |
|Контрольные вопросы и задачи |
| |
|1. В ветви на рис. 1 [pic] [pic] [pic]. Определить ток [pic]. |
|Ответ: [pic]. |
|2. В чем заключается сущность символического метода расчета цепей |
|синусоидального тока? |
|3. В чем состоит сущность метода контурных токов? |
|4. В чем состоит сущность метода узловых потенциалов? |
|5. В цепи на рис. 5 [pic]; [pic]; [pic]; [pic] [pic] [pic] [pic]. Методом |
|контурных токов определить комплексы действующих значений токов ветвей. |
|Ответ: [pic]; [pic]; [pic]. |
|6. В цепи на рис. 6 [pic] [pic][pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] |
|[pic]. Рассчитать токи в ветвях, используя метод узловых потенциалов. |
|Ответ: [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic]. |
|[pic] |
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
