|существует эффективных программ распознавания образа. Поэтому топологию цепи вводят в|
|ЭВМ в виде матриц, которые называют топологическими матрицами. Выделяют три таких |
|матрицы: узловую матрицу, контурную матрицу и матрицу сечений. |
|1. Узловая матрица (матрица соединений) – это таблица коэффициентов уравнений, |
|составленных по первому закону Кирхгофа. Строки этой матрицы соответствуют узлам, а |
|столбцы – ветвям схемы. |
|Для графа на рис. 3 имеем число узлов m=4 и число ветвей n=6. Тогда запишем матрицу |
|АН , принимая, что элемент матрицы [pic](i –номер строки; j –номер столбца) равен 1, |
|если ветвь j соединена с узлом i и ориентирована от него, -1, если ориентирована к |
|нему, и 0, если ветвь j не соединена с узломi . Сориентировав ветви графа на рис. 3, |
|получим |
| |
| |
| [pic] |
| |
|[pic] |
|[pic] |
|[pic] |
| |
|.Данная матрица АН записана для всех четырех узлов и называется неопределенной. |
|Следует указать, что сумма элементов столбцов матрицы АН всегда равна нулю, так как |
|каждый столбец содержит один элемент +1 и один элемент -1, остальные нули. |
|Обычно при расчетах один (любой) заземляют. Тогда приходим к узловой матрице А |
|(редуцированной матрице), которая может быть получена из матрицы АН путем |
|вычеркивания любой ее строки. Например, при вычеркивании строки “4” получим |
| |
| |
| [pic] |
| |
|[pic] |
|[pic] |
|[pic] |
| |
|.Число строк матрицы А равно числу независимых уравнений для узлов [pic], т.е. числу |
|уравнений, записываемых для электрической схемы по первому закону Кирхгофа. Итак, |
|введя понятие узловой матрицы А, перейдем к первому закону Кирхгофа. |
|Первый закон Кирхгофа |
|Обычно первый закон Кирхгофа записывается для узлов схемы, но, строго говоря, он |
|справедлив не только для узлов, но и для любой замкнутой поверхности, т.е. |
|справедливо соотношение |
|[pic] |
|(1) |
| |
|где [pic]- вектор плотности тока; [pic]- нормаль к участку dS замкнутой поверхности |
|S. |
|Первый закон Кирхгофа справедлив и для любого сечения. В частности, для сечения S2 |
|графа на рис. 3, считая, что нумерация и направления токов в ветвях соответствуют |
|нумерации и выбранной ориентации ветвей графа, можно записать |
|[pic]. |
|Поскольку в частном случае ветви сечения сходятся в узле, то первый закон Кирхгофа |
|справедлив и для него. Пока будем применять первый закон Кирхгофа для узлов, что |
|математически можно записать, как: |
|[pic] |
|(2) |
| |
|т.е. алгебраическая сумма токов ветвей, соединенных в узел, равна нулю. |
|При этом при расчетах уравнения по первому закону Кирхгофа записываются для (m-1) |
|узлов, так как при записи уравнений для всех m узлов одно (любое) из них будет |
|линейно зависимым от других, т.е. не дает дополнительной информации. |
|Введем столбцовую матрицу токов ветвей |
|I= |
|[pic] |
| |
|Тогда первый закон Кирхгофа в матричной форме записи имеет вид: |
|АI=O |
|(3) |
| |
|– где O - нулевая матрица-столбец. Как видим, в качестве узловой взята матрица А, а |
|не АН, т.к. с учетом вышесказанного уравнения по первому закону Кирхгофа записываются|
|для (m-1) узлов. |
|В качестве примера запишем для схемы на рис. 3 |
|[pic] |
|[pic] |
| |
|Отсюда для первого узла получаем |
|[pic], |
|что и должно иметь место. |
|2. Контурная матрица (матрица контуров) – это таблица коэффициентов уравнений, |
|составленных по второму закону Кирхгофа. Строки контурной матрицы Всоответствуют |
|контурам, а столбцы – ветвям схемы. |
|Элемент bij матрицы В равен 1, если ветвь j входит в контур i и ее ориентация |
|совпадает с направлением обхода контура, -1, если не совпадает с направлением обхода |
|контура, и 0, если ветвьj не входит в контурi. |
|Матрицу В, записанную для главных контуров, называют матрицей главных контуров. При |
|этом за направление обхода контура принимают направление ветви связи этого контура. |
|Выделив в нашем примере (см. рис. 5) дерево, образуемое ветвями 2-1-4, запишем |
|коэффициенты для матрицы В. |
| |
| |
|[pic] |
| |
|[pic] |
|[pic] |
|[pic] |
| |
| |
|. |
|Перейдем теперь ко второму закону Кирхгофа. |
|Под напряжением на некотором участке электрической цепи понимается разность |
|потенциалов между крайними точками этого участка, т.е. |
|[pic] |
|(4) |
| |
|Просуммируем напряжения на ветвях некоторого контура: |
|[pic] |
|Поскольку при обходе контура потенциал каждой i-ой точки встречается два раза, причем|
|один раз с “+”, а второй – с “-”, то в целом сумма равна нулю. |
|Таким образом, второй закон Кирхгофа математически записывается, как: |
|[pic] |
|(5) |
| |
|- и имеет место следующую формулировку: алгебраическая сумма напряжений на зажимах |
|ветвей (элементов) контура равна нулю. При этом при расчете цепей с использованием |
|законов Кирхгофа записывается [pic]независимых уравнений по второму закону Кирхгофа, |
|т.е. уравнений, записываемых для контуров, каждый из которых отличается от других |
|хотя бы одной ветвью. Значение топологического понятия “дерева”: дерево позволяет |
|образовать независимые контуры и сечения и, следовательно, формировать независимые |
|уравнения по законам Кирхгофа. Таким образом, с учетом (m-1) уравнений, составленных |
|по первому закону Кирхгофа, получаем систему из [pic]уравнений, что равно числу |
|ветвей схемы и, следовательно, токи в них находятся однозначно. |
|Введем столбцовую матрицу напряжений ветвей |
|U= |
|[pic] |
| |
|Тогда второй закон Кирхгофа в матричной форме записи имеет вид |
|BU = 0. |
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
